设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.

证明:由于 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是不空的,因此存在 $p\in \bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$.假设 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是不连通的,则 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 可以分解成两个不相交非空集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 的开集.根据对称性,不妨设 $p\in A$.下面我们来证明 $\forall \alpha\in I$,$E_{\alpha}\bigcap B=\emptyset$.否则我们来看 $E_{\alpha}\bigcap A$ 和 $E_{\alpha}\bigcap B$.易得 $E_{\alpha}\bigcap A$ 和 $E_{\alpha}\bigcap B$ 都是相对于 $E_{\alpha}$ 的非空开集(为什么?),且 $(E_{\alpha}\bigcap A)\bigcup (E_{\alpha}\bigcap B)=E_{\alpha}$,因此 $E_{\alpha}$ 不是连通的,这与 $E_{\alpha}$ 的连通性矛盾.因此 $\forall \alpha\in I$,$E_{\alpha}\bigcap B=\emptyset$,因此 $B$ 是空集,这与 $B$ 的非空性矛盾.因此假设错误,即 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.